Le pari du chevalier de Méré

Au XVII \(^\text{e}\) siècle, le chevalier de Méré, féru de probabilités, pensait, contrairement au mathématicien Blaise Pascal, que parier sur le fait qu'au moins un « 6 » apparaisse sur quatre lancers d'un dé est avantageux. Il affirmait de plus qu’il est tout aussi avantageux de parier sur le fait qu’au moins un « double 6 » apparaisse sur vingt-quatre lancers de deux dés.

Partie A

On lance quatre fois de suite un dé bien équilibré. On note :

• \(S_1\) l'événement : « Le nombre obtenu au premier lancer est 6 » ;
  
• \(S_2\) l'événement :  « Le nombre obtenu au deuxième lancer est 6 » ;
  
• \(S_3\) l'événement : « Le nombre obtenu au troisième lancer est 6 » ;
• \(S_4\) l'événement : « Le nombre obtenu au quatrième lancer est 6 ».

1. Que représente l'arbre pondéré suivant ?

2. Recopier et compléter cet arbre pondéré afin qu'il corresponde au quatre lancers de dé.

3. Calculer la probabilité de l'événement \(\overline{S_1} \cap \overline{S_2 }\cap \overline{S_3}\cap\overline{ S_4 }\) .

4. En déduire que la probabilité d'obtenir au moins un « 6 » lors de ces quatre lancers est égal à \(1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^4\) .

Partie B

Dans cette partie, on lance 24 fois de suite deux dés bien équilibrés simultanément.

1. Dans cette question, on suppose qu'on lance simultanément deux dés cubiques bien

équilibrés. Démontrer que la probabilité d'obtenir deux fois le nombre 6 est égale à \(\dfrac{1}{36}\) . On

pourra éventuellement construire un tableau à double entrée permettant d'écrire toutes les

issues possibles lors d'un lancer.

2. Dans cette question, on lance 24 fois de suite deux dés cubiques bien équilibrés simultanément. Démontrer que la probabilité d'obtenir au moins une fois un double 6 lors de ces 24 lancers est égal à \(1-\left(\dfrac{35}{36}\right)^{24}\) .

3. Que peut-on dire des affirmations du chevalier de Méré ?